Polinomlar Konu Anlatımı

Bu dersimizde sizlere  Matematik’te Polinomlar konusuna değineceğiz;
Polinom nedir? Polinomlar ile ilgili temel kavramlar nelerdir, çok değişkenli polinomlar, polinomlarda eşitlik, polinomlarda dört işlem, kalan polinomun bulunması, basit kesirlere ayrıma, derece ile ilgili işlemler vb. başlıklar hakkında detaylı bilgileri sizlere bahsedeceğiz.

Polinom Nedir?

n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, … , an – 1, an birer gerçek sayı olmak üzere,

P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn

biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n. dereceden polinom (çok terimli) denir.

Polinomlar ile ilgili temel kavramlar

Polinomlarda temel kavramlar konusunda;

P(x) = a+ a1x + a2x2 + … + an – 1xn – 1+anxn

olmak üzere,

a0, a1, a2, … , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir.

a0, a1x, a2x2, … , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir.

Polinomun bilinen terimlerinden biri olarak a2x2 teriminde x‘in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi diyoruz.

Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına biz polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi diyoruz ve der [p(x)] ile gösterilmektedir.

Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir.

a0 = a1 = a2 = … = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir. Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır.

a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = … an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomunun derecesi sıfırdır.

Her polinom bir aynı zamanda fonksiyondur. Fakat her fonksiyon bir polinom olmayabilir. Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR

P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar dememiz doğru olacaktır. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir.

POLİNOMLARDA EŞİTLİK

Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir.

P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir.

P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır.

Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır. Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır.P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamıP(a + b) ve sabit terimi P(b) dir.

P(x) polinomunun;

Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:

POLİNOMLARDA DÖRT İŞLEM

1. Toplama ve Çıkarma

P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + …

Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 + …

olmak üzere,

P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 + …

P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 + …

olur.

2. Çarpma

İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

3. Bölme

der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,

derscalisiyorum.com.tr

P(x) : Bölünen polinom

Q(x) : Bölen polinom

B(x) : Bölüm polinom

K(x) : Kalan polinomdur.

P(x) = Q(x) . B(x) + K(x)

der [K(x)] < der [Q(x)]

K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür.

der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]

Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır.

Bunun için;

  1. Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
  2. Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür.
  3. Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır.
  4. Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır. Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır.
  5. Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir.

KALAN POLİNOMUN BULUNMASI

Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz.

1. Bölen Birinci Dereceden İse

Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine derscalisiyorum.com.tr yazılır.

  •  P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir.
  •  P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

derscalisiyorum.com.tr

2. Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa

Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir. Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur.

P(x) polinomunun a(x – b) . (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,

P(x) = a(x – b) . (x – c) . Q(x) + mx + n olur.

P(b) = mb + n … (1)

P(c) = mc + n … (2)

(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur.

Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir.

3. Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa

Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur.

1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur.

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır.

  •  P(x) polinomunun ax+ bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır.

4. P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)

derscalisiyorum.com.tr
P(x) = axn + bxm + d ise,Pı(x) = a . nxn–1 + b . mxm–1 + 0Pıı(x) = a . n . (n – 1)xn – 2 + b . m(m –1) . xm – 2 dir.

 

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalanK(x) = (x – a) k2 + k1 olur.

BASİT KESİRLERE AYIRMA

a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,

derscalisiyorum.com.tr

eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur.

derscalisiyorum.com.tr

Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen derscalisiyorum.com.tr de yazılır.

Aynı işlemler B için de yapılır.

derscalisiyorum.com.tr

H. DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER

m > n olmak üzere,

der[P(x)] = m

der[Q(x)] = n olsun.

Buna göre,

  1. der[P(x) ± Q(x)] = m tir.
  2. der[P(x) . Q(x)] = m + n dir.
  3. P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir.
  4. k Î N+ için der[Pk(x)] = k . m dir.
  5. der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır.

Kaynak: www.derscalisiyorum.com.tr

3 thoughts on “Polinomlar Konu Anlatımı

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir